Kvadratne enačbe (FULL): Definicija, formule, primeri problemov

kvadratna enačba

Kvadratna enačba je ena od matematičnih enačb spremenljivke, ki ima največjo moč dveh.

Splošna oblika kvadratne enačbe ali PK je naslednja:

sekira2 + bx + c = 0

s x je spremenljivka, a, b je koeficient in c je stalnica. Vrednost a ni enaka nič.

Grafične oblike

Če je kvadratna enačba opisana v smislu kartezičnih koordinat (x, y), bo tvorila parabolični graf. Zato so kvadratne enačbe pogosto imenovane tudi parabolična enačba.

Sledi primer oblike te enačbe v obliki paraboličnega grafa.

graf kvadratnih enačb

V splošni enačbi vrednosti a, b, in c močno vpliva na nastali parabolični vzorec.

Rezultat a določite konkavno ali konveksno krivuljo parabole. Če je vrednost od a> 0, potem bo parabola odprto navzgor (konkavno). V nasprotnem primeru, če a <0, potem bo parabola navzdol odprto (konveksno).

Rezultat b na enačbi določa zgornji položaj parabole. Z drugimi besedami, določitev vrednosti osi simetrije krivulje je enaka x =-b/2a.

Stalna vrednost c na grafu enačba določa presečišče funkcije parabole z osjo y. Sledi parabolični graf s spremembami konstantnih vrednosti c.

Korenine kvadratne enačbe (PK)

Rešitev kvadratne enačbe se imenuje akar-koren kvadratne enačbe.

Različne PK korenine

Vrste korenin PK lahko enostavno najdemo z uporabo splošne formule D = b2 - 4ac iz splošne enačbe za kvadratno os2 + bx + c = 0.

Sledijo vrste korenin kvadratnih enačb.

1. Pravi koren (D> 0)

Če je vrednost D> 0 iz PK, bo ustvarila prave korenine enačbe, vendar ima drugačne korenine. Z drugimi besedami, x1 ni isto kot x2.

Primer enačbe realnega korena (D> 0)

Poiščite korenski tip enačbe x2 + 4x + 2 = 0.

Naselje:

a = 1; b = 4; in c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Torej, ker je vrednost D> 0, je koren tipa pravi koren.

2. Realni koren je enak x1 = x2 (D = 0)

Je vrsta korena kvadratne enačbe, ki daje korenine z enako vrednostjo (x1 = x2).

Primer resničnih korenin (D = 0)

Poiščite korensko vrednost PK 2x2 + 4x + 2 = 0.

Preberite tudi: Vrste vodnih ciklov (+ celotna slika in razlaga)

Naselje:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16 - 16

D = 0

Ker je vrednost D = 0, je dokazano, da so korenine resnične in pobratene.

3. Namišljene korenine / niso resnične (D <0)

Če je vrednost D <0, bo koren kvadratne enačbe namišljen / neresničen.

Primer namišljenih korenin (D <0) /

Poiščite korenski tip enačbe x2 + 2x + 4 = 0.

Naselje:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4-16

D = -12

Ker je vrednost D <0, je koren enačbe neresničen ali namišljen koren.

Poiščite korenine kvadratne enačbe

Obstaja več metod, s katerimi lahko poiščemo korenine kvadratne enačbe. Med njimi so razčlenjevanje na faktorje, popolni kvadrati in uporaba formule abc.

V nadaljevanju je opisanih več metod za iskanje enačbnih korenin.

1. Faktorizacija

Faktorizacija / faktoring je metoda iskanja korenin z išče vrednost, ki bo, če jo pomnožimo, ustvarila drugo vrednost.

Obstajajo tri oblike kvadratnih enačb (PK) z različno faktorizacijo korenin, in sicer:

NeEnačbaFaktorizacija korenskih korenov
1x2 + 2xy + y2 = 0(x + y)2 = 0
2x2 - 2xy + y2 = 0(x - y)2 = 0
3x2 - y2 = 0(x + y) (x - y) = 0

Sledi primer problema z uporabo metode razdeljevanja v kvadratne enačbe.

Reši 5x kvadratno enačbo2+ 13x + 6 = 0 z uporabo metode faktorizacije.

Naselje:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 ali x = -2

Rezultat rešitve je torej x = -3/5 ali x = -2

2. Popolni kvadratki

Oblika popolni kvadrati je oblika kvadratne enačbe, ki je daje racionalno število.

Rezultati popolne kvadratne enačbe običajno uporabljajo naslednjo formulo:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Splošna rešitev popolne kvadratne enačbe je naslednja:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

z (x + p) 2 = q, potem:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Sledi primer problema z uporabo metode popolne enačbe.

Rešite enačbo x2 + 6x + 5 = 0 z uporabo metode popolne kvadratne enačbe!

Naselje:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Naslednji korak, namreč dodajte eno številko v desnem in levem segmentu, tako da se lahko spremenijo v popoln kvadrat.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Končni rezultat je torej x = -1 ali x = -5

Preberite tudi: Definicija in razlika homonimov, homofonov in homografov

3. Kvadratne formule ABC

Formula abc je alternativna izbira, kadar kvadratne enačbe ni mogoče rešiti s faktorji ali popolnimi kvadratnimi metodami.

Tukaj je formula formule a B C v kvadratni enačbi ax2 + bx + c = 0.

korenine kvadratne enačbe

Sledi primer reševanja problema kvadratne enačbe z uporabo formule a B C.

Rešite enačbo x2 + 4x - 12 = 0 z metodo formule abc!

Naselje:

x2 + 4x - 12 = 0

kjer je a = 1, b = 4, c = -12

Sestavljanje nove kvadratne enačbe

Če smo se prej naučili, kako najti korenine enačbe, se bomo zdaj naučili sestaviti kvadratno enačbo iz prej znanih korenin.

Tu je nekaj načinov, kako zgraditi nov PK.

1.Sestavite enačbo, ko poznate korenine

Če ima enačba korenine x1 in x2, potem lahko enačbo za te korenine izrazimo v obliki

(x- x1) (x- x2)=0

Primer:

Poiščite kvadratno enačbo, kjer so korenine med -2 ​​in 3.

Naselje:

x1 = -2 in x2=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Rezultat enačbe za te korenine je torej x2-x-6 = 0

2.Sestavite kvadratno enačbo, ko poznate vsoto in zmnožek korenin

Če so znane korenine kvadratne enačbe s številom in časi x1 in x2, lahko kvadratno enačbo pretvorimo v naslednjo obliko.

x2- (x1+ x2) x + (x1.x2)=0

Primer:

Poiščite kvadratno enačbo s koreninama 3 in 1/2.

Naselje:

x1= 3 in x2= -1/2

x1+ x2=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x1.x2 = 3 (-1/2) = -3/2

Tako je kvadratna enačba:

x2- (x1+ x2) x + (x1.x2)=0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (vsaka stran se pomnoži z 2)

2x2-5x-3 = 0

Torej, kvadratna enačba za korenine 3 in 1/2 je 2x2-5x-3 = 0.

Zadnje objave

$config[zx-auto] not found$config[zx-overlay] not found