
Matematična indukcija je deduktivna metoda, ki se uporablja za dokazovanje resničnih ali neresničnih trditev.
Verjetno ste matematiko učili v srednji šoli. Kot vemo, je matematična indukcija podaljšek matematične logike.
V svoji uporabi se matematična logika uporablja za proučevanje izjav, ki imajo napačne ali resnične vrednosti, ekvivalente ali negacije, in sklepanje.
Osnovni pojmi
Matematična indukcija je deduktivna metoda, ki se uporablja za dokazovanje resničnih ali neresničnih trditev.
V tem postopku se sklepa na podlagi veljavnosti splošno sprejetih trditev, tako da so lahko tudi določene trditve resnične. Poleg tega se spremenljivka v matematični indukciji šteje tudi za član množice naravnih števil.
V osnovi obstajajo trije koraki v matematični indukciji, da dokažemo, ali je formula ali trditev lahko resnična ali obratno.
Ti koraki so:
- Dokažite, da stavek ali formula drži za n = 1.
- Predpostavimo, da stavek ali formula drži za n = k.
- Dokažite, da stavek ali formula drži za n = k + 1.
Iz zgornjih korakov lahko domnevamo, da mora biti izjava preverljiva za n = k in n = k + 1.

Vrste matematične indukcije
Obstajajo različne vrste matematičnih problemov, ki jih je mogoče rešiti z matematično indukcijo. Zato lahko matematično indukcijo razdelimo na tri vrste, in sicer na zaporedje, delitev in neenakost.
1. Serija
Pri tej vrsti serij se navadno matematični indukcijski problem nahaja v obliki zaporednega seštevanja.
Torej, v serijskem problemu je treba resnico dokazati v prvem, k-členu in th-členu (k + 1).
2. Divizija
Vrste matematične indukcije delitve najdemo v različnih problemih, ki uporabljajo naslednje stavke:
- a je deljivo z b
- faktor b a
- b deli a
- večkratnik b
Te štiri značilnosti kažejo, da je trditev mogoče rešiti z matematično indukcijo delitvenega tipa.
Treba si je zapomniti, če je število a deljivo z b, potem a = b.m kjer je m celo število.
3. Neenakosti
Vrsto neenakosti označuje znak, ki je večji ali manjši od tistega v izjavi.
Obstajajo lastnosti, ki se pogosto uporabljajo pri reševanju vrst neenakosti z matematično indukcijo. Te značilnosti so:
- a> b> c ⇒ a> c ali a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <pr ali a> b in c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c ali a> b ⇒ a + c> b + c
Primeri matematičnih indukcijskih problemov
Sledi primer problema, da boste lahko bolje razumeli, kako rešiti dokaz formule z uporabo matematične indukcije.
Vrstica
Primer 1
Dokažite 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) za vsakih n naravnih števil.
Odgovor:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Dokazano bo, da n = (n) velja za vsak n ∈ N
Prvi korak :
Pokazalo se bo, da je n = (1) pravilno
2 = 1(1 + 1)
Torej, P (1) je pravilen
Drugi korak :
Predpostavimo, da je n = (k) res, tj.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Tretji korak
Pokazalo se bo, da je tudi n = (k + 1) res, tj
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Iz predpostavk:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Dodajte obe strani z uk + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Torej, n = (k + 1) je pravilno
2. primer
Za dokazovanje enačb uporabite matematično indukcijo
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 za vsa cela števila n ≥ 1.
Odgovor:
Prvi korak :Pokazalo se bo, da je n = (1) pravilno
S1 = 1 = 12
Drugi korak
Predpostavimo, da je n = (k) res, to je
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tretji korak
Dokaži, da je n = (k + 1) res
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
ne pozabite, da je 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
potem
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
potem je zgornja enačba dokazana
3. primer
Dokaži 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 res, za vsakih n naravnih števil
Odgovor:
Prvi korak :
Pokazalo se bo, da je n = (1) pravilno
1 = 12
Torej, P (1) je pravilen
Drugi korak:
Predpostavimo, da je n = (k) res
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Tretji korak:
Pokazalo se bo, da je tudi n = (k + 1) res, tj
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Iz predpostavk:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Dodajte obe strani z uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Torej velja tudi n = (k + 1)
Divizija
4. primer
Dokažite, da je n3 + 2n deljivo s 3 za vsakih n naravnih števil
Odgovor:
Prvi korak:
Pokazalo se bo, da je n = (1) pravilno
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Torej, n = (1) je pravilno
Preberite tudi: Razumevanje in značilnosti komunistične ideologije + primeriDrugi korak:
Predpostavimo, da je n = (k) res
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Tretji korak:
Pokazalo se bo, da je tudi n = (k + 1) res, tj
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Ker je m celo število in je k naravno število, je (m + k2 + k + 1) celo število.
Recimo, da je p = (m + k2 + k + 1), potem
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, kjer je p ∈ ZZ
Torej, n = (k + 1) je pravilno
Neenakost
Primer 5
Dokaži, da za vsako naravno število velja n ≥ 2
3n> 1 + 2n
Odgovor:
Prvi korak:
Pokazalo se bo, da je n = (2) pravilno
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Torej, P (1) je pravilen
Drugi korak:
Predpostavimo, da je n = (k) res
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Tretji korak:
Pokazalo se bo, da je tudi n = (k + 1) res, tj
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (ker 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (ker 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Torej velja tudi n = (k + 1)
Primer 6
Dokaži, da za vsako naravno število velja n ≥ 4
(n + 1)! > 3n
Odgovor:
Prvi korak:
Pokazalo se bo, da je n = (4) pravilno
(4 + 1)! > 34
leva stran: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
desna stran: 34 = 81
Torej, n = (4) je pravilno
Drugi korak:
Predpostavimo, da je n = (k) res
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Tretji korak:
Pokazalo se bo, da je tudi n = (k + 1) res, tj
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (ker (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (ker je k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Torej velja tudi n = (k + 1)