Krožne enačbe - formule, splošne oblike in primeri problemov

Enačba za krog ima splošno obliko x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, s katero lahko določimo polmer in središče kroga.

Enačba kroga, ki jo boste spoznali spodaj, ima več oblik. V različnih primerih je enačba lahko različna. Zato ga dobro razumite, da si ga boste lahko zapomnili na pamet.

Krog je niz točk, ki so enako oddaljene od točke. Koordinate teh točk se določijo z razporeditvijo enačb. Ta se določi na podlagi dolžine polmera in koordinat središča kroga.

Krožne enačbe

Obstajajo namreč različne vrste podobnosti enačba ki je oblikovan iz središčne točke in polmera in enačbe, ki jo lahko najdemo v središču in polmeru.

Splošna enačba za krog

Spodaj je splošna enačba:

Sodeč po zgornji enačbi lahko določimo središčno točko in polmer:

Središče kroga je:

V središču P (a, b) in polmer r

Če poznate središčno točko in polmer iz kroga, boste dobili formulo:

Če poznate središčno točko kroga in polmer kroga, kjer je (a, b) središče in r polmer kroga.

Iz zgornje enačbe lahko ugotovimo, ali je točka vključena v krog ali znotraj ali zunaj. Če želite določiti lokacijo točke, uporabite zamenjavo točke na spremenljivkah x in y in nato primerjajte rezultate s kvadratom polmera kroga.

Točka M (x₁, y₁) se nahaja:

V krogu:

Znotraj kroga:

Zunaj kroga:

Pri s središčem O (0,0) in polmerom r

Če je središčna točka pri O (0,0), izvedite zamenjavo v prejšnjem delu, in sicer:

Iz zgornje enačbe lahko določimo lokacijo točke na krožnici.

Točka M (x₁, y₁) se nahaja:

V krogu:

Znotraj kroga:

Zunaj kroga: Preberite tudi: Umetnost je: opredelitev, funkcija, tipi in primeri [FULL]

Splošno obliko enačbe lahko izrazimo v naslednjih oblikah.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 ali

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, ali

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, kjer je P = -2a, Q = -2b in S = a2 + b2 - r2

Presečišče črt in krogov

Krog z enačbo x2 + y2 + Ax + By + C = 0 lahko določimo, ali se črta h z enačbo y = mx + n ne dotika, žali ali seka z uporabo diskriminatornega načela.

……. (enačba 1)

…… .. (enačba 2)

Z nadomestitvijo enačbe 2 v enačbo 1 boste dobili kvadratno enačbo, in sicer:

Iz zgornje kvadratne enačbe je s primerjavo diskriminatornih vrednosti razvidno, ali črta kroži / seka, žali ali seka krog.

Črta h ne preseka / žali kroga, zato je D <0

Črta h je tangenta na krog, torej je D = 0

Črta h preseka krog, zato je D> 0

Enačbe tangent na kroge

1. Enačba tangente skozi točko na krožnici

Tangente na krog natančno ustrezajo točki, ki se nahaja na krogu. Iz točke presečišča tangente in kroga lahko določimo enačbo tangente.

Enačba tangente na krog, ki poteka skozi točko P (x₁, y₁), je mogoče določiti, in sicer:

• Oblika

Enačba tangente

• Oblika

Enačba tangente

• Oblika

Enačba tangente

Primer težav:

Enačba tangente skozi točko (-1,1) na krožnici

so:

Odgovor:

Poznajte enačbo za krog

kjer je A = -4, B = 6 in C = -12 in x₁ = -1, y₁ = 1

PGS je

Enačba tangente je torej

2. Enačba tangente na gradient

Če je črta z naklonom m tangentna na krog,

potem je enačba tangente:

Če gre za krog,

potem enačba tangente:

Če gre za krog,

potem enačba tangente z nadomestitvijo r z,

tako da:

ali

3. Enačbe tangent na točke zunaj kroga

Iz točke zunaj kroga lahko narišemo dve tangenti na krog.

Za iskanje enačbe tangente uporabimo formulo enačbe pravilne črte, in sicer:

Vendar iz te formule vrednost naklona črte ni znana. Če želite najti naklon črte, enačbo nadomestite z enačbo kroga. Ker je premica tangenta, bomo iz enačbe dobili rezultat nadomestitve vrednosti D = 0 in vrednosti m

Primer težav

Primer težave 1

Krog ima središčno točko (2, 3) in ima premer 8 cm. Enačba kroga je ...

Diskusija:

Ker d = 8 pomeni r = 8/2 = 4, je enačba za oblikovan krog enaka

(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

Primer težave 2

Določite splošno enačbo za krog s središčem v točki (5,1) in črto 3x– 4y+ 4 = 0!

Diskusija:

Če poznate središče kroga (a,b) = (5,1) in tangenta na krog 3x– 4y+ 4 = 0, potem je polmer kroga formuliran na naslednji način.

Tako je splošna enačba za krog naslednja.

Tako je splošna enačba za krog s središčem v točki (5,1) in črti 3x– 4y+ 4 = 0 je

Primer težave 3

Poiščite splošno enačbo za krog s središčem na (-3,4) in žali os Y!

Diskusija:

Najprej najprej narišimo graf kroga, ki je centriran na (-3,4) in žali os Y!

Na podlagi zgornje slike je razvidno, da je središče kroga v koordinati (-3,4) s polmerom 3, tako da:

Tako je splošna enačba, ki je osredotočena na (-3,4) in žali Y-os

V nekaterih primerih polmer kroga ni znan, tangenta pa je znana. Kako torej določiti polmer kroga? Poglejte naslednjo sliko.

Na zgornji sliki je razvidno, da je premica tangens enačbe px+ qy+ r= 0 žali krog s središčem v C (a, b). Polmer lahko določimo z naslednjo enačbo.a, b). Polmer lahko določimo z naslednjo enačbo.

Lahko koristno.