Delne integralne, substitucijske, nedoločne in trigonometrične formule

V spodnji razpravi bomo preučevali integralne formule v obliki delnih integralov, substitucije, nedoločnikov in trigonometrije. Pozorno poslušajte!

Integral je oblika matematične operacije, ki je inverzna ali inverzna izpeljanka in omejene operacije določenega števila ali območja. Nato tudi razdeljen na dva, in sicer nedoločen integral in določen integral.

Nedoločen integral se nanaša na definicijo integrala kot inverzno (inverzno) izpeljanke, medtem ko je integral opredeljen kot vsota površine, omejene z določeno krivuljo ali enačbo.

Integral se uporablja na različnih področjih. Na primer v matematiki in inženirstvu se integrali uporabljajo za izračun prostornine vrtečega se predmeta in površine na krivulji.

Na področju fizike se uporaba integralov uporablja za izračun in analizo vezij električnih tokov, magnetnih polj in drugih.

Splošna integralna formula

Recimo, da obstaja preprosta funkcija axn. Integral funkcije je

Informacije:

• k: koeficient
• x: spremenljivka
• n: moč / stopnja spremenljivke
• C: konstantno

Recimo, da obstaja funkcija f (x). Če bomo določili površino, omejeno z grafom f (x), jo lahko določimo z

kjer sta a in b navpični črti ali meje območja, izračunane iz osi x. Recimo, da je integral f (x) označen z F (x) ali če je zapisan

potem

Informacije:

• a, b: zgornja in spodnja meja integrala
• f (x): enačba krivulje
• F (x): površina pod krivuljo f (x)

Integralne lastnosti

Nekatere integralne lastnosti so naslednje:

Nedoločen integral

Nedoločen integral je nasprotje izpeljanke. Lahko mu rečete anti-derivat ali antiderivat.

Nedoločeni integral funkcije povzroči novo funkcijo, ki nima fiksne vrednosti, ker so v novi funkciji še spremenljivke. Splošna oblika integrala je seveda.

Nedoločena integralna formula:

Informacije:

• f (x): enačba krivulje
• F (x): površina pod krivuljo f (x)
• C: konstantno

Primeri nedoločenih integralov:

Zamenjava Integral

Nekatere probleme ali integrale funkcije lahko rešimo z nadomestno integralno formulo, če gre za množenje funkcije, pri čemer je ena od funkcij izpeljana iz druge funkcije.

Upoštevajte naslednje primere:

Domnevamo, da je U = ½ x2 + 3, potem dU / dx = x

Torej, da je x dx = dU

Integralna enačba za substitucijo postane

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C

Primer

recimo 3x2 + 9x -1 kot u

torej du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

nato u ponovno zamenjamo s 3x2 + 9x -1, tako da dobimo odgovor:

Delni integral

Delne integralne formule se običajno uporabljajo za reševanje integrala množenja dveh funkcij. Na splošno so delni integrali opredeljeni kot

Informacije:

• U, V: funkcija
• dU, dV: izpeljanka funkcije U in izpeljanka funkcije V

Primer

Kakšen je rezultat ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx?

Naselje:

Primer

u = 3x + 2

dv = greh (3x + 2) dx

Potem

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Torej to

∫ u dv = uv - ∫v du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

∫ u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ greh (3x + 2) + C

∫ u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ greh (3x + 2) + C

Zmnožek ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx je - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ greh (3x + 2) + C.

Trigonometrični integral

Integralne formule lahko delujemo tudi na trigonometričnih funkcijah. Delovanje trigonometričnih integralov se izvaja z istim konceptom algebrskih integralov, kar je obratno od izpeljave. dokler ni mogoče sklepati, da:

Določanje enačbe krivulje

Prelivi in ​​enačbe, ki se dotikajo krivulje v točki. Če je y = f (x), je naklon tangente na krivuljo na kateri koli točki krivulje y '= f' (x). Če je torej naklon tangente znan, lahko enačbo krivulje določimo na naslednji način.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + c

Če poznate eno od točk skozi krivuljo, lahko poiščete vrednost c, da lahko določite enačbo krivulje.

Primer

Naklon tangente na krivuljo v točki (x, y) je 2x - 7. Če krivulja prehaja skozi točko (4, –2), poiščite enačbo krivulje.

Odgovor:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Ker krivulja skozi točko (4, –2)

potem: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Torej, enačba krivulje je y = x2 - 7x + 10.

Tako je razprava o več integralnih formulah, upam, da je to koristno.